[Computer Graphics] 2. Affine Geometry
2D 이미지
- 디지털 이미지는 픽셀의 격자로 이루어져 있음
- RGB 색상 모델 : 각 픽셀의 색은 Red, Green, Blue 의 세 가지 값으로 표현
3D 데이터
- Mesh : A collection of interconnected geometric elements forming a 3D object
- Vertex(정점) : (x, y, z) 좌표로 정의된 점
- Edge : 두 정점을 연결하는 선분
- Face (면) : A closed loop of edges forming a flat surface
Rendering
: converting a 3D model into a 2D image (apply lighting, textures, and shading)
- Ray Tracing : 카메라에서 광선을 쏴서 물체와의 충돌을 계산한 후, 색상을 결정하는 방식
- Rasterization : 3D 객체를 화면에 투영하여 2D 픽셀에 채우는 방식
| 단계 | 과정 |
| Vertex Processing | 3D 정점 --> 화면 좌표 변환 |
| Triangle Processing | 정점 연결 --> 삼각형 구성 |
| Rasterization | 삼각형 --> 픽셀 변환 |
| Fragment Processing | 픽셀별 색상, 조명, 텍스처 처리 |
| Framebuffer Operations | 최종 이미지 출력 |
3D 모델이 화면에 표시되는 과정
1) 3D 객체들을 계층 구조(hierarchical)로 구성하여 로컬 좌표계에서 정의
2) 월드 좌표계에 배치
3) 카메라 위치와 시점을 설정하여 최종적으로 2D 이미지로 변환
Geometric Programming
- vector, point, transform을 다루는 방법
- 일반적으로 **동차 좌표(Homogeneous Coordinates)**를 사용
- Affine Geometry와 coordinate-invariant geometric programming 에 대해 알아볼 것임
* Affine Geometry : 점과 벡터의 구조를 설명하는 기하학 / 원점이 고정되지 않음
What is Geometry?
- "Geometry is the study of shapes(도형) and spatial(공간) relationships"
- Explores the properties of points / lines / surfaces / solids
- Different approaches
- Coordinate-free Geometry(좌표 없는 기하학) : 숫자 없이 점과 도형의 관계를 분석
- Coordinate-based Geometry(좌표 기반 기하학) : 수학적인 표현식(방정식, 벡터 등)으로 분석
- Coordinate-invariant Geometry(좌표 불변 기하학) : 좌표계에 영향을 받지 않는 기하학
Coordinate-free Geometry
- 실제 세계에는 좌표가 존재하지 않음
- 기하학적 특성은 숫자 좌표 없이도 성립 가능함
- 예시) 좌표 없이 컴퍼스와 자 만으로 선분의 중점 찾기
Coordinate-based Geometry
- 좌표계를 이용한 수학적인 분석 방법
- 예시) Cartesain Geometry / (x,y) 좌표를 이용한 중점 찾기
Why Coordinate-invariant Geometry?
coordinate-invariant Geometry는 특정 좌표계에 의존하지 않고 기하학적 연산(operations)을 수행하는 기법으로,
수학적 방법이 필수적으로 요구된다.
특히, Affine Geometry는 coordinate-invariant Geometry를 이해하는 핵심적인 프레임워크를 제공한다.
Geometric Elements
- point : specific location / no direction or size
- vector : direction and magnitude(크기)
Vector spaces consists of
- set of vectors
- Two operations : Vector addition / Scalar multiplication
Properties of Vector Spaces
A set of vectors forms a vector space if it satisties the following conditions
- If u and v are in the space, then u+v and cu are also in the space
- 덧셈의 교환법칙, 결합법칙이 성립
- 영벡터가 존재
- 곱셈의 교환법칙과 분배법칙이 성립
- A linear combination of vectors is also a vector
Affine Space consists of
- Set of points
- An associated vector space
- Additional operations on points
Coordinate-invariant Geometrip Operations
- Addition
- Subtraction
- Scalar multiplication
- Linear combination
Affine Combination
- 여러 개의 점(벡터)을 특정 가중치를 사용하여 결합하는 연산 방식
- 가중치의 총합이 1이 되도록 설정된 선형 결합(Linear Combination)
Affine Space : Valid and Invalid Operations
1) point + point = undefined
2) point - point = vector (백터를 생성하는 연산)
3) point ± vector = point (점을 이동하는 연산)
4) vector ± vector = vector
5) scalar · vector = vector
6) ∑scalar · vector = vector
7) scalar · point = point (if scalar =1)
= vector (if scalar =0)
= undefined (otherwise) (점은 스칼라 곱셈이 허용되지 않기 때문)
8) ∑scalar · point = point (if ∑scalar =1)
= vector (if ∑scalar =0)
= undefined (otherwise)
Matrix Representation of Affine map
1) Linear Transformation
2) Affine Transformation
